New York, United States, by Matt Lamers
题目
给定五种不同颜色，求使得相邻区域颜色不重复的画法有多少种？ 不要求使用所有颜色。
解答
按照字母顺序依次填充。
A：5选1
B：4选1
C：3选1
D：2选1
A/B/C/D两两相邻，所以共计占用了四种不同的颜色。
现在看E，只与A/C相关，即E可填充的颜色有三种：B的颜色，D的颜色，以及暂未出现的颜色，记为X。
当E填充颜色为B的颜色时，F则不能填充ABD的颜色，即可选颜色为CX两种；
当E填充颜色为D的颜色时，F则不能填充AD的颜色，即可选颜色为BCX三种；
当E填充颜色为X的颜色时，F则不能填充ADX的颜色，即可选颜色为BC两种；
综上，共有 5x4x3x2x(2+3+2) = 840种。
假设此时需要使用全部五种颜色，则有多少种方法呢？
重复上面的思路：
现在看E，只与A/C相关，即E可填充的颜色有三种：B的颜色，D的颜色，以及暂未出现的颜色，记为X。
当E填充颜色为B的颜色时，F则不能填充ABD的颜色，即可选颜色为CX两种，由于需要使用全部颜色，则只能选X一种；
当E填充颜色为D的颜色时，F则不能填充AD的颜色，即可选颜色为BCX三种，由于需要使用全部颜色，则只能选X一种；
当E填充颜色为X的颜色时，F则不能填充ADX的颜色，即可选颜色为BC两种；
综上，共有 5x4x3x2x(1+1+2) = 480种。
如果扩展到N中颜色呢？不要求使用所有颜色。
重复上面的思路：
按照字母顺序依次填充。
A：n选1
B：(n-1)选1
C：(n-2)选1
D：(n-3)选1
A/B/C/D两两相邻，所以共计占用了四种不同的颜色。
现在看E，只与A/C相关，即E可填充的颜色有三种：B的颜色，D的颜色，以及暂未出现的颜色，记为X。
当E填充颜色为B的颜色时，F则不能填充ABD的颜色，即可选颜色为CX 共(n-3)种；
当E填充颜色为D的颜色时，F则不能填充AD的颜色，即可选颜色为BCX共(n-2)种；
当E填充颜色为（n-4）种X中任一颜色时，F则不能填充ADX(特定的一种)的颜色，即可选颜色为BCX(n-4-1)共(n-3)种；
综上，共有 nx(n-1)x(n-2)x(n-3)x((n-3)+(n-2)+(n-4)x(n-3)) = n(n-1)(n-2)(n-3)((n-3)x(n-3)+(n-2))种。
