剑指offer面试题：旋转数组的最小数字

题目描述

把一个数组最开始的若干个元素搬到数组的末尾，我们称之为数组的旋转。

输入一个非递减排序的数组(如{1,2,3,4,5})的一个旋转(如{3,4,5,1,2})，输出旋转数组的最小元素。

例如数组{3,4,5,1,2}为{1,2,3,4,5}的一个旋转，该数组的最小值为1。 NOTE：给出的所有元素都大于0，若数组大小为0，请返回0。

简而言之，输入的是旋转后的数组，输出数组的最小数字。

最简单的方法当然是从头到尾查找一遍就知道最小数字了，复杂度为$O(n)$，不过这并不是能让面试官满意的答案。

需要结合旋转数组的特性来分析。

分析

这是一道二分查找的变形的题目。

旋转之后的数组实际上可以划分成两个有序的子数组：前面子数组的大小都大于后面子数组中的元素

注意到实际上最小的元素就是两个子数组的分界线。本题目给出的数组一定程度上是排序的，因此我们试着用二分查找法寻找这个最小的元素。

思路：

（1）我们用两个指针left,right分别指向数组的第一个元素和最后一个元素。按照题目的旋转的规则，第一个元素应该是大于最后一个元素的（没有重复的元素）。

但是如果不是旋转，第一个元素肯定小于最后一个元素。

（2）找到数组的中间元素。

中间元素大于第一个元素，则中间元素位于前面的递增子数组，此时最小元素位于中间元素的后面。我们可以让第一个指针left指向中间元素。

移动之后，第一个指针仍然位于前面的递增数组中。

中间元素小于第一个元素，则中间元素位于后面的递增子数组，此时最小元素位于中间元素的前面。我们可以让第二个指针right指向中间元素。

移动之后，第二个指针仍然位于后面的递增数组中。

这样可以缩小寻找的范围。

（3）按照以上思路，第一个指针left总是指向前面递增数组的元素，第二个指针right总是指向后面递增的数组元素。

最终第一个指针将指向前面数组的最后一个元素，第二个指针指向后面数组中的第一个元素。

也就是说他们将指向两个相邻的元素，而第二个指针指向的刚好是最小的元素，这就是循环的结束条件。

此时的解法答案如下：

class Solution {
public:
    int minNumberInRotateArray(vector<int> rotateArray) {
        int size = rotateArray.size();
        if(0 == size) {
            return 0;
        }
        
        int low = 0, high = size - 1, mid;
        
        while((high - low) > 1) {
            mid = low + ((high - low) >> 1);
            if(rotateArray[mid] > rotateArray[0]) //位于左半递增数组上
                low = mid;
            else if(rotateArray[mid] < rotateArray[size - 1]) {
                high = mid;
            }
        }
        
        return rotateArray[high];
    }
};

到目前为止以上思路很好的解决了没有重复数字的情况，这一道题目添加上了这一要求，有了重复数字。

因此这一道题目比上一道题目多了些特殊情况：

我们看一组例子：｛1，0，1，1，1｝ 和 ｛1，1， 1，0，1｝ 都可以看成是递增排序数组｛0，1，1，1，1｝的旋转。

这种情况下我们无法继续用上一道题目的解法，去解决这道题目。因为在这两个数组中，第一个数字，最后一个数字，中间数字都是1。

第一种情况下，中间数字位于后面的子数组，第二种情况，中间数字位于前面的子数组。

因此当两个指针指向的数字和中间数字相同的时候，我们无法确定中间数字1是属于前面的子数组（绿色表示）还是属于后面的子数组（紫色表示）。

也就无法移动指针来缩小查找的范围。

因此只能按照正常的顺序来遍历查找最小的元素。

再次放上最终版本的代码。基本上考虑了所有的情况。

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

int MinInOrder(vector<int> rotateArray) {
	int size = rotateArray.size();
	int min = 0x7fffffff;
	for(auto i = rotateArray.begin(); i != rotateArray.end(); ++i) {
		if(min > *i) {
			min = *i;
		}
	}
	return min;
}


class Solution {
public:
    int minNumberInRotateArray(vector<int> rotateArray) {
        int size = rotateArray.size();
        if(0 == size) {
            return 0;
        }
        
        int low = 0, high = size - 1, mid;
        if(rotateArray[low] < rotateArray[high]) { //翻转了0个或者翻转全部
            return rotateArray[low];
        }

        while((high - low) > 1) {
            mid = low + ((high - low) >> 1);
			if(rotateArray[mid] == rotateArray[0] && rotateArray[mid] == rotateArray[size - 1]) //三个数字都相同，这一种情况比较特殊。
                return MinInOrder(rotateArray);
            else if(rotateArray[mid] >= rotateArray[0]) //位于左半递增数组上
                low = mid;
            else if(rotateArray[mid] <= rotateArray[size - 1]) {
                high = mid;
            }
        }
        return rotateArray[high];
    }
};


int main() {
    Solution *s = new Solution();

	cout << s->minNumberInRotateArray(vector<int>{3,4,5,1,2}) << endl;
	cout << s->minNumberInRotateArray(vector<int>{1,2,3,4,5}) << endl;
	cout << s->minNumberInRotateArray(vector<int>{1,1,1,0,1}) << endl;
    return 0;
}